¿Por qué un número dividido entre cero “da” infinito?

Viendo el video, pienso que la idea se podría resumir así:
Según vamos dividiendo el 1 por números más pequeños, el resultado es un número cada vez más grande.
Si 0 es el límite de los números por los que vamos dividiendo, el límite de los resultados es infinito.

supongamos que existe un número que denominaremos como a$a$ que es el inverso multiplicativo de cero esto es, que podemos escribir:

a×0=1${\displaystyle a\times 0=1}$

Como 0$0$ es el elemento neutro de la suma, todo número sumado al mismo no varía, en particular 0+0=0. Al multiplicar a ambos lados de la igualdad por a$a$ obtenemos:

a×(0+0)=a×0

Aplicando la propiedad distributiva:

a×(0+0)=a×0+a×0=a×0

Como hemos partido de que a×0=1 finalmente tendríamos:

1+1=1

Aquí ya se ve que no tiene sentido la hipótesis de partida, pero si queremos ser todavía más formales sumamos −1 a ambos lados de la igualdad, por definición −1es el elemento opuesto de 1, luego su suma da el elemento neutro de la suma, esto es,0 y así:

1+(−1)+1=1+(−1)⇒0+1=0⇒1=0

Y así hemos llegado a que 1=0, pero por definición 1 es distinto de 0. Lo que nos hace rechazar la hipótesis de partida.

Por tanto, 0 no tiene elemento inverso multiplicativo, es decir no se puede dividir por 0.

Al infinito es mejor dejarlo tranquilo, una cosa distinta es que al tratar con límites podamos escribir por ejemplo:

limx→01x2=+∞

Pero eso es harina de otro costal, es territorio del análisis matemático, no de la aritmética. Insisto, con las reglas de la aritmética que definen la suma y el producto no se puede dividir por 0.

¿El resultado de 0/0 es 0 o infinito?

La respuesta es que la fracción es un número indeterminado

Desde el punto de vista del análisis matemático, la indefinición de una división por cero puede estudiarse mediante el concepto de límite. Supongamos que tenemos la siguiente expresión:

${\displaystyle f(x)={n \over x}}$ donde ${\displaystyle 0<n\in \mathbb {R} }$

Entonces, para analizar el valor de ${\displaystyle f(0)}$, se puede utilizar una aproximación del límite, por el lado positivo:

${\displaystyle f(0)\simeq \lim _{x\to 0^{+}}{n \over x}=+\infty }$

Y por el lado negativo:

${\displaystyle f(0)\simeq \lim _{x\to 0^{-}}{n \over x}=-\infty }$

Cuando el valor de ${\displaystyle x}$ «tiende» a cero, ${\displaystyle n \over x}$ alcanza un valor inmensamente grande (positivo o negativo).

Se lee: cuando ${\displaystyle x}$ «tiende» a cero, ${\displaystyle n \over x}$ se «aproxima» a infinito.

La expresión ${\displaystyle {\tfrac {n}{0}}}$ indica que se trata de una indefinición.